Logaritmo de un número complejo
El logaritmo de un número complejo es la función polivalente
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Explicación
En forma exponencial, un número complejo se escribe con z = r · eiφ. Suponiendo que su logaritmo es el número complejo x + i y
Igualando
Por tanto
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i.
De lo anterior se desprende que el logaritmo de un número complejo z = r · eiφ tiene infinitos valores, todos ellos con parte real igual a ln r y partes imaginarias que difieren entre sí en múltiplos de 2π.
Para k = 0, se obtiene el valor principal.
Ejemplo 1
Los números negativos son un caso especial de números complejos. Porque z = −1 es un número complejo en el círculo unitario con radio r = 1 y un semicírculo girado φ = π. El logaritmo de −1 tiene un valor principal de
ln (−1) = ln (1) + πi = πi